L’OGGETTIVITÀ DELLA MATEMATICA

È sotto gli occhi di tutti che le teorie matematiche sono condivise e accettate universalmente. Faccio un esempio. Esiste un’algebra, come quella comune della somma e della moltiplicazione, che è commutativa, cioè tale che l’ordine nel realizzare un’operazione non conta. Esiste però anche un’algebra che non è commutativa, come ad esempio quella delle rotazioni. Se ci dicono, ad esempio, che per andare alla toilette prima si deve andare a sinistra e poi a destra e noi, invece, prima andiamo a destra e poi a sinistra non arriviamo a destinazione. Questo significa che ci sono più di un’algebra. Tuttavia, questo non significa che in un’algebra commutativa si possa attribuire un risultato diverso a un’operazione in cui abbiamo invertito gli operandi. Sia che siamo in una scuola in Centroamerica, in Europa o in Asia, questo non lo possiamo fare. E se lo facessimo quasi sicuramente qualcuno ci segnalerebbe l’errore. Insomma, possiamo affermare che la matematica è una pratica altamente intersoggettiva.

Possiamo allora chiederci quale sia la spiegazione di tale intersoggettività. Alcuni hanno sostenuto, da Sesto Empirico nell’antichità ad Hartry Field nella filosofia contemporanea, che questa intersoggettività sia il frutto di accordi e convenzioni. La nostra mente è più o meno la stessa ovunque e la matematica è un prodotto della nostra mente. Non solo, i matematici comunicano fra di loro e quindi possono mettere a punto queste strutture universali.

Tale prospettiva va incontro però a un paio di obbiezioni. Il genere umano ha messo a punto molte altre prassi collettive, dalle lingue naturali alle religioni. Nessuna di queste è così condivisa e universale come la matematica. La lingua e la religione giapponese, ad esempio, sono del tutto diverse dalle lingue e dalle religioni europee, ma la matematica è più o meno la stessa. Inoltre, non possediamo una chiara ricostruzione di come si sarebbe arrivati a questa straordinaria convergenza in matematica.

L’altra strada che si può percorrere, per comprendere l’intersoggettività della matematica, è quella di provare a ricondurla a una sua oggettività. Si potrebbe quindi sostenere che le strutture matematiche, indipendentemente da ogni mente umana, ha una sua oggettività. Possiamo attribuire questa prospettiva a Platone e nel mondo contemporaneo a Gottlob Frege, Kurt Gödel e Roger Penrose. D’altra parte, questa impostazione è andata incontro a una semplice obbiezione formulata dal filosofo Paul Benacerraf: dove stanno questi oggetti matematici? Non sembrano stare nel mondo fisico. Tuttavia, se stanno fuori dal mondo fisico, come possiamo noi conoscerli? Siamo forse in contatto causale con un mondo diverso da quello fisico? Questa ipotesi non sembra suffragata dalle nostre migliori teorie scientifiche.

In effetti, chi sostiene l’oggettività della matematica non può negare che la matematica sia anche il prodotto della nostra mente e delle nostre convenzioni. Però, nonostante questa partecipazione empirica, resta il fatto che chi si occupa di matematica si trova di fronte a dei veri e propri vincoli. Facciamo un esempio. Prendiamo l’aritmetica elementare. Proviamo a modificare un suo enunciato: decidiamo, ad esempio, che “2 + 2 = 5” e non 4. Se facciamo così, però capita che il sistema viene completamente trivializzato, cioè in questa nuova teoria possiamo dimostrare qualsiasi enunciato: ad esempio anche che “2 + 2 = 6”. C’è qualcosa che non va. E se aggiungiamo quell’enunciato, questo effetto non possiamo evitarlo.

A seguito di questa situazione, alcuni matematici, a partire da Hilbert, hanno provato a sostenere che l’intersoggettività della matematica – quando si allontana dalla realtà finita – poggia tutta sulle regole della dimostrazione che accettiamo. Purtroppo, anche questa strada non funziona, poiché Kurt Gödel ha dimostrato nel ’31 che l’aritmetica contiene un enunciato che non può né essere dimostrato, né si può dimostrare la sua negazione. In altre parole, la matematica non sembra essere solo dimostrazione. Anche perché questo enunciato nell’interpretazione standard dell’aritmetica sarebbe vero!

Torniamo allora alla visione platonica della matematica, ma rendiamola un po’ meno dogmatica. Oggi, si è imposta l’idea che le strutture matematiche, benché oggettive, non siano sostanze, ma relazioni. Secondo questa prospettiva, non possiamo affermare che esiste un mondo dove “2 + 2 = 4” sia letteralmente vero, come che “la neve è bianca” nel nostro mondo fisico. Più pragmaticamente, ci sono dei vincoli che impongono certe relazioni piuttosto che altre. In altre parole, chi si muove nell’aritmetica elementare è costretto a sostenere che “2 + 2 = 4”.

Resta aperta la questione di quale sia l’origine epistemologica di questi vincoli. Molte strutture matematiche hanno avuto applicazioni fisiche. Si potrebbe sostenere che esse siano immanenti alla realtà fisica che spiegano, come hanno fatto Putnam e Quine. Questa prospettiva è interessante, ma lascia fuori tutta la matematica che non ha applicazioni fisiche, cioè la maggior parte della disciplina.

Per rispondere a questa domanda è difficile sottrarsi a un’istanza in parte neoplatonica. Le relazioni matematiche sembrerebbero essere profondamente pervasive. Noi stessi parteciperemmo a esse e l’intero universo sarebbe anche matematico.

Per concludere, non è facile rispondere alla domanda, come mai la matematica sia così intersoggettiva. Tuttavia, è anche difficile negare che essa sia almeno in parte oggettiva. Anche se tale oggettività è profondamente enigmatica.

Vincenzo Fano, Dipartimento di Scienze Pure e Applicate, Università di Urbino

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